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在考研数学中，二次型是线性代数部分的重要考点之一，近些年是每年必考，并且常常是与特征值和特征向量结合在一起出一个占11分的大题，因此大家一定要理解其知识点，并熟练掌握其解题方法。关于二次型的考题，在数学（一）的考研试卷中偶尔也会结合高等数学中空间曲面方程的知识点进行命题，但对于数学（二）和数学（三）的考研试卷，则不会出现这种情况，这是因为数学（二）和数学（三）的考研大纲中不包括空间曲面的内容。

二次型典型题型：

1）化二次型为标准型；

2）判别或证明二次型的正定性；

3）判别或证明矩阵的合同性。

二次型典型题型的解题方法：

1）用正交变换法、配方法化二次型为标准型（即：将实对称矩阵合同对角化）；

2）用初等变换法化二次型为标准型（注：若，则）；

3）根据元实二次型正定正惯性指数存在可逆阵，使特征值全大于0为正顺序主子式全大于0合同于某个正定矩阵合同于单位阵；

4）利用正定性质：若二次型正定，则，都正定

根据合同矩阵判定定理：阶实对称阵合同存在可逆阵，使秩和正惯性指数相等秩和符号差分别相等正负惯性指数分别相等。

典型例题分析：

例1. 设二次型，记。    （2013年考研真题数学（一）第21题）

（Ⅰ）证明二次型对应的矩阵为；

（Ⅱ)若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变换下的标准形为

分析：对问题（Ⅰ），只要将表示为矩阵形式即可，对问题（Ⅱ），可以根据题目特点作相应正交变换，也可以采用特征值和特征向量方法证明，具体如下。

解析：（Ⅰ）令，则，故对应的矩阵为；

（Ⅱ)证法1：令为方程的一个单位向量，则为正交矩阵，作正交变换，则， 。（注：这个方法类似于配方法）

证法2：二次型对应矩阵，∵正交且均为单位向量，∴，∴，故是的特征向量，对应特征值是2，同理，由，知是的特征向量，对应特征值是1，又，∴，0是的特征值，故的特征值为2,1,0，因此在正交变换下的标准形为

例2. 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.       （2014年考研真题数学（一）第13题）

分析：负惯性指数为1，说明恰有一个特征值为负，另外两个特征值非负。

解析：二次型的矩阵，因为 负惯性指数为1，所以恰有一个特征值为负，不妨设则，（1）若，则此时符合题意，而，即－2<<2. （2）若，则（因为），此时，当时，，，，符合题意；当=－2时，，，，符合题意，综上，的取值范围是。

以上就是对考研数学中线性代数向量这部分内容典型题型及解题方法的分析，希望大家认真复习，考出好成绩。